问平面到原点的距离

【平面到原点的距离】在三维几何中，平面到原点的距离是一个重要的概念，常用于计算空间中点与平面之间的最短距离。了解这一距离的计算方法，有助于我们更好地理解空间几何关系，并在工程、物理和计算机图形学等领域中应用。

一、基本概念

一个平面可以用一般式方程表示为：

$$

Ax + By + Cz + D = 0

$$

其中，$ A $、$ B $、$ C $ 是平面的法向量分量，$ D $ 是常数项。原点的坐标是 $ (0, 0, 0) $。

二、公式推导

点到平面的距离公式如下：

$$

d = \frac{Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}

$$

将原点 $ (x_0, y_0, z_0) = (0, 0, 0) $ 代入上式，得到：

$$

d = \frac{D}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}

$$

这即是平面到原点的距离的计算公式。

三、总结内容

四、示例计算

假设有一个平面方程为：

$$

2x - 3y + 6z - 12 = 0

$$

根据公式：

- $ A = 2 $, $ B = -3 $, $ C = 6 $, $ D = -12 $

- 距离 $ d = \frac{-12}{\sqrt{2^2 + (-3)^2 + 6^2}} = \frac{12}{\sqrt{4 + 9 + 36}} = \frac{12}{\sqrt{49}} = \frac{12}{7} $

因此，该平面到原点的距离为 $ \frac{12}{7} $。

五、注意事项

- 当 $ D = 0 $ 时，平面经过原点，距离为 0。

- 若法向量 $ (A, B, C) $ 为单位向量，则距离直接等于 $ D $。

- 公式适用于任意三维空间中的平面。

通过以上分析，我们可以清晰地掌握“平面到原点的距离”的计算方式及其实际应用。理解这一概念有助于我们在更复杂的几何问题中做出准确判断。