【复变函数与积分变换公式汇总】在数学的众多分支中，复变函数与积分变换是研究函数在复数域上的性质以及将函数从一个域转换到另一个域的重要工具。它们广泛应用于物理、工程、信号处理、控制理论等领域。为了便于学习和查阅，本文对复变函数与积分变换中的常用公式进行系统总结，并以表格形式呈现。
一、复变函数的基本概念与公式
| 概念 | 公式 | 说明 | ||
| 复数表示 | $ z = x + iy $ | $ x, y \in \mathbb{R} $，$ i^2 = -1 $ | ||
| 模与幅角 | $ | z | = \sqrt{x^2 + y^2} $，$ \arg z = \arctan\left(\frac{y}{x}\right) $ | 模为复数的长度，幅角为与实轴的夹角 |
| 极坐标形式 | $ z = r e^{i\theta} $ | $ r = | z | $，$ \theta = \arg z $ |
| 复数运算 | $ z_1 + z_2 = (x_1 + x_2) + i(y_1 + y_2) $ $ z_1 \cdot z_2 = (x_1 x_2 - y_1 y_2) + i(x_1 y_2 + x_2 y_1) $ | 加法与乘法遵循分配律 | ||
| 共轭复数 | $ \overline{z} = x - iy $ | 实部不变，虚部取反 | ||
| 指数形式 | $ e^{z} = e^{x} (\cos y + i \sin y) $ | 利用欧拉公式展开 |
二、解析函数与柯西-黎曼方程
| 概念 | 公式 | 说明 |
| 解析函数定义 | 函数 $ f(z) $ 在某点附近可导，则称其在该点解析 | |
| 柯西-黎曼方程 | $ \frac{\partial u}{\partial x} = \frac{\partial v}{\partial y} $ $ \frac{\partial u}{\partial y} = -\frac{\partial v}{\partial x} $ | 若 $ f(z) = u(x, y) + iv(x, y) $，则满足此方程时可导 |
| 调和函数 | $ \nabla^2 u = 0 $，$ \nabla^2 v = 0 $ | 解析函数的实部和虚部均为调和函数 |
三、复积分与柯西积分公式
| 概念 | 公式 | 说明 |
| 复积分 | $ \int_C f(z) dz $ | 沿曲线 $ C $ 的积分 |
| 柯西积分定理 | 若 $ f(z) $ 在单连通区域 $ D $ 内解析，则 $ \oint_C f(z) dz = 0 $ | 积分与路径无关 |
| 柯西积分公式 | $ f(a) = \frac{1}{2\pi i} \oint_C \frac{f(z)}{z - a} dz $ | 用于计算解析函数在内部点的值 |
| 高阶导数公式 | $ f^{(n)}(a) = \frac{n!}{2\pi i} \oint_C \frac{f(z)}{(z - a)^{n+1}} dz $ | 可通过积分求导数 |
四、泰勒级数与洛朗级数
| 概念 | 公式 | 说明 |
| 泰勒级数 | $ f(z) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{f^{(n)}(a)}{n!}(z - a)^n $ | 在解析点附近展开 |
| 洛朗级数 | $ f(z) = \sum_{n=-\infty}^{\infty} a_n (z - a)^n $ | 在孤立奇点附近展开，包含正负幂项 |
| 留数 | $ \text{Res}_{z=a} f(z) = \frac{1}{2\pi i} \oint_C f(z) dz $ | 用于计算围线积分 |
五、积分变换常用公式
| 变换类型 | 公式 | 说明 |
| 傅里叶变换 | $ F(\omega) = \int_{-\infty}^{\infty} f(t) e^{-i\omega t} dt $ | 将时域信号转换为频域信号 |
| 傅里叶逆变换 | $ f(t) = \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{\infty} F(\omega) e^{i\omega t} d\omega $ | 从频域恢复时域信号 |
| 拉普拉斯变换 | $ \mathcal{L}\{f(t)\} = F(s) = \int_0^{\infty} f(t) e^{-st} dt $ | 常用于求解微分方程 |
| 拉普拉斯逆变换 | $ f(t) = \frac{1}{2\pi i} \int_{c-i\infty}^{c+i\infty} F(s) e^{st} ds $ | 一般使用留数法或查表法 |
| Z变换 | $ X(z) = \sum_{n=-\infty}^{\infty} x[n] z^{-n} $ | 用于离散时间系统的分析 |
| 逆Z变换 | 通常使用留数法或部分分式法 | 从复平面上的极点还原序列 |
六、常见函数的积分变换表（简要）
| 函数 | 傅里叶变换 | 拉普拉斯变换 | Z变换 |
| $ e^{-at} $ | $ \frac{1}{a + i\omega} $ | $ \frac{1}{s + a} $ | $ \frac{z}{z - e^{-a}} $ |
| $ \delta(t) $ | $ 1 $ | $ 1 $ | $ 1 $ |
| $ u(t) $ | $ \pi \delta(\omega) + \frac{1}{i\omega} $ | $ \frac{1}{s} $ | $ \frac{z}{z - 1} $ |
| $ \sin(\omega_0 t) $ | $ i\pi [\delta(\omega + \omega_0) - \delta(\omega - \omega_0)] $ | $ \frac{\omega_0}{s^2 + \omega_0^2} $ | — |
| $ \cos(\omega_0 t) $ | $ \pi [\delta(\omega + \omega_0) + \delta(\omega - \omega_0)] $ | $ \frac{s}{s^2 + \omega_0^2} $ | — |
总结
复变函数与积分变换是现代数学和工程科学中不可或缺的工具，它们不仅帮助我们理解复杂函数的行为，还提供了将问题从一个域转换到另一个域的手段。掌握这些公式和方法，有助于更深入地理解和应用相关领域的知识。本文通过对关键概念和公式的整理，旨在为学习者提供一个清晰、系统的参考指南。