【利用初等变换求逆矩阵】在矩阵运算中，求一个可逆矩阵的逆矩阵是一个重要的问题。其中，使用初等行变换（或称初等变换）是一种常用且有效的方法。该方法通过将原矩阵与单位矩阵进行联合操作，最终得到原矩阵的逆矩阵。
一、基本原理
设 $ A $ 是一个 $ n \times n $ 的可逆矩阵，我们可以通过以下步骤求其逆矩阵：
1. 将矩阵 $ A $ 和单位矩阵 $ I_n $ 拼接成一个增广矩阵 $ [A
2. 对这个增广矩阵进行初等行变换，使其左边的矩阵 $ A $ 变为单位矩阵 $ I_n $。
3. 此时右边的矩阵即为 $ A $ 的逆矩阵 $ A^{-1} $。
如果在变换过程中无法将左边变为单位矩阵，则说明原矩阵不可逆。
二、步骤总结
| 步骤 | 操作 | 目的 | |
| 1 | 构造增广矩阵 $[A | I_n]$ | 准备进行行变换 |
| 2 | 进行初等行变换 | 将左半部分变为单位矩阵 | |
| 3 | 若成功，右半部分即为 $ A^{-1} $ | 得到逆矩阵 | |
| 4 | 若失败，说明矩阵不可逆 | 判断矩阵是否可逆 |
三、示例演示
以矩阵
$$
A = \begin{bmatrix}
1 & 2 \\
3 & 4 \\
\end{bmatrix}
$$
为例，求其逆矩阵。
增广矩阵：
$$
| A | I] = \left[\begin{array}{cc | cc} 1 & 2 & 1 & 0 \\ 3 & 4 & 0 & 1 \\ \end{array}\right |
$$
第一步：消去第二行第一列元素
- 第二行减去第一行的3倍：
$$
R_2 \rightarrow R_2 - 3R_1
$$
结果：
$$
\left[\begin{array}{cc
1 & 2 & 1 & 0 \\
0 & -2 & -3 & 1 \\
\end{array}\right
$$
第二步：将第二行主元变为1
- 第二行除以 -2：
$$
R_2 \rightarrow \frac{1}{-2}R_2
$$
结果：
$$
\left[\begin{array}{cc
1 & 2 & 1 & 0 \\
0 & 1 & \frac{3}{2} & -\frac{1}{2} \\
\end{array}\right
$$
第三步：消去第一行第二列元素
- 第一行减去第二行的2倍：
$$
R_1 \rightarrow R_1 - 2R_2
$$
结果：
$$
\left[\begin{array}{cc
1 & 0 & -2 & 1 \\
0 & 1 & \frac{3}{2} & -\frac{1}{2} \\
\end{array}\right
$$
此时左边是单位矩阵，右边就是 $ A^{-1} $：
$$
A^{-1} = \begin{bmatrix}
-2 & 1 \\
\frac{3}{2} & -\frac{1}{2} \\
\end{bmatrix}
$$
四、注意事项
- 初等变换包括三种类型：交换两行、某一行乘以非零常数、某一行加上另一行的倍数。
- 必须确保每一步操作都是可逆的，否则可能导致错误。
- 如果在变换过程中发现某一行全为0，说明矩阵不可逆。
五、总结
利用初等变换求逆矩阵是一种系统而直观的方法，适用于大多数可逆矩阵。通过构造增广矩阵并逐步进行行变换，可以清晰地看到矩阵从原始状态到单位矩阵的变化过程，从而得到其逆矩阵。这种方法不仅有助于理解矩阵的结构，也为实际计算提供了便利。