【sin75度的值】在三角函数中，sin75°是一个常见的角度，它并不是标准角（如30°、45°、60°等），但可以通过三角恒等式进行计算。通过使用和角公式或差角公式，可以将sin75°转化为已知角度的组合形式，从而求出其精确值或近似值。
一、计算方法总结
sin75° 可以表示为 sin(45° + 30°)，利用正弦的和角公式：
$$
\sin(A + B) = \sin A \cos B + \cos A \sin B
$$
代入 A = 45°，B = 30°，得：
$$
\sin(45° + 30°) = \sin 45° \cos 30° + \cos 45° \sin 30°
$$
根据常用角度的三角函数值：
- $\sin 45° = \frac{\sqrt{2}}{2}$
- $\cos 30° = \frac{\sqrt{3}}{2}$
- $\cos 45° = \frac{\sqrt{2}}{2}$
- $\sin 30° = \frac{1}{2}$
代入计算：
$$
\sin 75° = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}
= \frac{\sqrt{6}}{4} + \frac{\sqrt{2}}{4}
= \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}
$$
因此，sin75° 的精确值为：$\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$
二、数值近似值
若需要以小数形式表示，可将上述表达式代入计算器：
$$
\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} ≈ \frac{2.449 + 1.414}{4} ≈ \frac{3.863}{4} ≈ 0.9659
$$
三、表格总结
| 角度 | 正弦值（精确表达式） | 正弦值（近似值） |
| 75° | $\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$ | 0.9659 |
四、小结
sin75° 是一个非标准角度，但通过三角恒等式可以准确计算其值。无论是用于数学推导还是实际应用，了解它的精确表达式和近似值都是非常有帮助的。此外，这种计算方式也展示了三角函数的灵活性与实用性。